estatistica

Estatística

Podemos entender a estatística como sendo um método de estudo de comportamentos coletivos cujas conclusões são traduzidas em resultados numéricos.

NOÇÕES DE ESTATÍSTICA


Amostra - elementos coletados dentro do vasto universo.


Rol - é toda sequência de dados numéricos.


cada termo, a partir do segundo, é maior ou igual ao seu antecessor;


ou cada termo, a partir do segundo, é menor ou igual ao seu antecessor


exemplo: Os cincos alunos de uma amostra apresentaram as seguintes notas na prova bimestral de matemática 6; 4; 8; 7; 8. Apresentando esses dados em rol, temos: (4; 6; 7; 8; 8) ou (8; 8; 7; 6; 4).


Classes - qualquer intervalo real que contenha um rol da amostra. exemplo:


Em uma amostra de latas de óleo comestível, foram constatados os seguintes volumes em mililitros: 980; 990; 100; 970; 980; 1000; 1010; 950; 970; 940; 1020; 1010; 920; 990; 950; 900; 100; 950; 970; 1010. Podemos separar os elementos dessa amostra em róis disjuntos(sem elementos comuns). Por exemplo:


I. 900; 920


II. 940


III. 950; 950; 950


IV. 970; 970; 980; 980


V. 990; 990; 1000; 1000; 1000


VI. 1010; 1010; 1010; 1020


Podemos formar as seguintes classes comos elementos dessa amostra:


* o intervalo [900, 940[ contém o rol (I);


* o intervalo [940, 950[ contém o rol (II);


* o intervalo [950, 970[ contém o rol (III);


* o intervalo [970, 990[ contém o rol (IV);


* o intervalo [990, 1010[ contém o rol (V);


* o intervalo [1010, 1020] contém o rol (VI).


A diferença entre o maior e o menor elemento de uma classe, nessa ordem, é chamada de amplitude da classe. Por exemplo, a amplitude da classe [900, 940[ é 940 - 900 = 40.


Distribuição de frequência


A quantidade de elementos da amostra que pertecem a uma determinada classe é chamada de frequência dessa classe. No exemplo anterior:


* a frequencia da classe [900, 940[ é igual a 2, pois 2 elementos da amostra pertecem a essa classe;


* a frequencia da classe [940, 950[ é igual a 1, pois apenas 1 elemento da amostra pertence a essa classe;


* analogamente, as classes [950, 970[; [970, 990[; [990,1010[ e [1010, 1020] têm frequencias, respectivamente, iguais a 3, 5, 5 e 4.




Podemos apresentar as classes com suas respectivas frequências através de um tabela chamada de tabela de distribuição de frequencia:






A soma de todas as frequencias, 2 +1 + 3 + 5 + 5 + 4 = 20, é chamada de frequencia total (F1) da distribuição. Dividindo a frequencia F de uma classe pela frequencia total Ft, obtemos um número chamado de frequencia relativa da classe. É usual apresentar-se a frequencia relativa em porcentagem. Indicando a frequencia relativa de uma classe por F%, tem-se que:
Assim, da tabela anterior, temos que:





MEDIDAS CENTRAIS

São três as medidas centrais da distribuições estatísticas: média, mediana, e moda

> "Em média" é uma expressão que surge frequentemente no noticiário e até nas conversas. Ela remete ao mais popular dos conceitos matemáticos de tendência central de uma distribuição de dados. Esses conceitos ajudam a observar em torno de que valores se distribuem os casos.

São três as medidas centrais das distribuições estatísticas. Para exemplificá-los, vamos pensar em duas empresas muito diferentes, que têm as seguintes pirâmides de salários e quantidade de funcionários:

MÉDIA ARITMÉTICA

O mais popular dos conceitos de tendência central, a média mostra qual seria o salário dos funcionários da empresa se todos ganhassem exatamente o mesmo. É bastante intuitiva: soma-se cada um dos casos e divide-se pela quantidade de casos. A fórmula é:





Em que é a soma de todos os termos, e N é a quantidade de termos. Nesse caso, para calcularmos a média dos salários das empresas, precisamos saber o montante dos salários e a quantidade de funcionários. Para saber o montante dos salários, é preciso multiplicar o salários pela quantidade de pessoas que o recebem e depois somar todos. Assim:

Somadas, as massas de salários atingem 120 000 reais na empresa 1 e 17 500 reais na empresa 2. A empresa 1 em 79 funcionários e a empresa 2 tem 12 funcionários. As médias são calculadas assim:

Perceba que, embora mostre mais ou menos em torno de que valor se distribuem os salários, a média não mostra o que acontece nos extremos. Além disso, por mais diferentes que sejam a duas empresas, as médias salariais são semelhantes.
Uma piada recorrente diz que quem coloca os pés no forno e a cabeça no freezer, em média, desfruta de ótima temperatura.


MEDIANA

É um conceito menos utilizado, mas também importante para observar como funciona a distribuição dos casos. A mediana é o ponto que fica exatamente no meio da lista de observação. Ou seja: nas empresas hipotéticas desta página, a mediana é o funcionário que ganha menos que a metade dos colegas e mais que a outra metade.

Assim, se na empresa 1 temos 79 funcionários, o funcionário mediano é o que fica na posição 40 - em observando bem, é um funcionário de nível 1, como o mais baixo salário(500 reais).

Se na empresa 2 temos 12 funcionários, o funcionário mediano fica na posição 6,5 - entre a 6 e a 7. Tanto faz: ambos são do nível 2, com o segundo menor salário (1 000 reais).

Repare que, nas duas empresas, a mediana fica distanciada da média.


MODA

Assim como o que acontece nas ruas, a moda na estatística é o que ocorre na maior parte dos casos, ou com maior frequencia. Por isso, a moda, tanto na empresa 1 quanto na empresa 2, é ganhar 500 reais mensais.

As três medidas centrais da distribuição dizem coisas diferentes sobre os casos que observamos. Quanto mais distanciadas estiverem, mais desigual é um distribuição.




Veja no vídeo:

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Aula 05 - Média Moda Mediana e Quartis FSL.flv

estatística média aritmética.wmv

2.1.1 Média Aritmética (X)

2.1.1 Média Aritmética (X)



Definição:

Média Aritmética é o quociente da divisão da soma dos valores da variável pelo número deles:

X = [å(i→n) xi] / n

Sendo:

X a média aritmética;

xi os valores da variável;

n o número de valores.



2.1.1.1 Dados Não-Agrupados

Quando desejamos conhecer a média dos dados não-agrupados, determinamos a média aritmética simples.

Exemplos:

→ Sabendo-se que a produção leiteira diária de vaca A, durante uma semana, foi de 10, 14, 13, 15, 16, 18 e 1 litros, temos, para produção média da semana:



X = (10 + 14 + 13 + 15 + 16 + 18 +1) : 7 = 14

Logo: X = 14 litros



2.1.1.2 Desvio em Relação à Média



Desvio em relação ã média é a diferença entre cada elemento de um conjunto de valores e a média aritmética.



Designando o desvio por d1, temos:

d1 = x1 – X

d1 = 10 – 14 = -4

d2 = 0 .... d7 = -2



2.1.1.3 Propriedades da Média

1) A soma algébrica dos desvios tomados em relação a média é nula: å(i = 1→ k) d1 = 0

No exemplo anterior, temos: å(i = 1→ 7) d1 = (-4) + 0 + (-1) + ... + 7 = 0

2) Somando-se (ou subtraindo-se) uma constante (c) de todos os valores de uma variável, a média do conjunto fica aumentada (ou diminuída) dessa constante: y1 = xi ± c => Y = X ± c

Somando 2 a cada um dos valores da variável do exemplo dado, temos: y1 = 12, y2 = 16, y3 = 15, ..., y7 = 14

Daí: å(i = 1→ 7) y1 = 12 + 16 + 15 + ... + 14 = 112

Como n = 7, vem: Y = 112 ÷ 7 = 16 => Y = 14 + 2 => Y = x + 2

3) Multiplicando-se (ou dividindo-se) todos os valores de uma variável por uma constante (c), a média do conjunto fica multiplicada (ou dividida) por essa constante: y1 = x1 . c => Y = X . c ou y1 = x1 ÷ c => Y = X ÷ c

Multiplicando por 3 cada um dos valores da variável do exemplo dado, obtemos: y1 = 30, y2 = 42, y3 = 39, ..., y7 = 36

Daí: å(i = 1→ 7) y1 = 30 + 42 + 39 + ... + 36 = 294

Como n = 7, vem: Y= 294 ÷ 7 = 42 => Y= 14 x 3 => Y= x . 3



2.1.1.4 Dados Agrupados

2.1.1.4.1 Sem Intervalos de Classe

Consideremos a distribuição relativa a 34 famílias de quatro filhos, tomando para variável o número de filhos do sexo masculino:

TABELA 2.1

No DE MENINOS


fi

0

1

2

3

4


2

6

10

12

4




∑ = 34



Neste caso, como as freqüências são números indicadores da intensidade de cada valor da variável, elas funcionam como fator de ponderação, o que nos leva a calcular a média aritmética ponderada, dada pela fórmula:

X = (∑ xifi) ÷ (∑ fi)

O modo mais prático de obtenção da média ponderada é abrir, na tabela, uma coluna correspondente ao produto xifi:



TABELA 2.2

xi


fi


xifi

0

1

2

3

4


2

6

10

12

4


0

6

20

36

16




∑ = 34


∑ = 78



Temos, então: ∑ xifi = 78 e ∑ fi

Logo: X = (∑ xifi) ÷ (∑ fi) = 78 ÷ 34 = 2,3



Nota:

· Sendo x uma variável discreta, como interpretar o resultado obtido, 2 meninos e 3 décimos de menino?

O valor médio 2,3 meninos sugere, neste caso, que o maior número de famílias tem 2 meninos e 2 meninas, sendo, porém, a tendência geral de uma leve superioridade numérica em relação ao número de meninos.

Resolva:

Complete o esquema para o cálculo da média aritmética da distribuição:



xi


1 2 3 4 5 6

fi


2 4 6 8 3 1





Temos:



xi


fi


xifi

1

2

3

4

5

6


2

4

6

8

3

1


2

...

...

...

...

...




∑ = ...


∑ = ...

















Como: ∑ xifi = ...., ∑ xifi = .... e X = (∑ xifi) ÷ (∑ fi)

Temos: X = .... ÷ .... = 3,4



2.1.1.4.2 Com Intervalos de Classe

Neste caso, convencionamos que todos os valores excluídos em um determinado intervalo de classe coincidem com o seu ponto médio, e determinamos a média aritmética ponderada por meio da fórmula:

X = (∑ xifi) ÷ (∑ fi)

Onde xi é o ponto médio da classe.

Consideremos a distribuição:



TABELA 2.3

i


ESTATURAS

(cm)


fi

1

2

3

4

5

6


150 ι— 154

154 ι— 158

158 ι— 162

162 ι— 166

166 ι— 170

170 ι— 174


4

9

11

8

5

3







∑ = 40





















Pela mesma razão do caso anterior, vamos, inicialmente, abrir uma coluna para os pontos médios e outra para os pontos xifi:



TABELA 2.4

i


ESTATURAS

(cm)


fi


xi


xifi

1

2

3

4

5

6


150 ι— 154

154 ι— 158

158 ι— 162

162 ι— 166

166 ι— 170

170 ι— 174


4

9

11

8

5

3


152

156

160

164

168

172


608

1.404

1.760

1.312

840

516







∑ = 40





∑ = 6.440



Como, neste caso: ∑ xifi = 6.440, ∑ fi = 40 e X = (∑ xifi) ÷ (∑ fi)

Temos: X = 6.440 ÷ 40 = 161 cm

Resolva:

Complete o esquema para o cálculo da média aritmética da distribuição:



xi


450 − 550 − 650 − 750 − 850 − 950 − 1.050 − 1.150

fi


8 10 11 16 13 5 1



Temos:



i


xi


fi


xifi

1

2

3

4

5

6

7


500

....

....

....

....

....

1.100


8

10

11

16

13

5

1


4.000

....

....

....

....

....

....




∑ = ....





∑ = ....

















Logo: X = .... ÷ .... = R$ 755,00



2.1.1.4.3 Processo Breve

Com o intuito de eliminarmos o grande número de cálculos que as vezes se apresentam na determinação da média, empregamos o que denominamos processo breve (em oposição ao processo utilizado anteriormente – processo longo), baseado em uma mudança da variável x por outra y, tal que:

y1 = (x1 – x0) ÷ h

onde x0 é uma constante arbitrária escolhida convenientemente dentre os pontos médios da distribuição – de preferência o de maior freqüência.

Fazendo essa mudança de variável, de acordo com a segunda e a terceira propriedades da média, ela resulta diminuída de x0 e dividida por h; mas isso pode ser compensado somando x0 a média da nova variável e, ao mesmo tempo, multiplicando-a por h. Resulta, então, a fórmula modificada.

X = x0 + (∑ yifi x h) ÷ (∑ fi)

Assim, a distribuição da Tabela 2.3, tomando para o valor x0 o ponto médio de maior freqüência (se bem que podemos tomar qualquer dos valores do ponto médio), isto é:

x0 = 160

como h = 4, temos para valores da nova variável:

y1 =(152 – 160) ÷ 4 = -2 y2 =(156 – 160) ÷ 4 = -1 .... y6 =(172 – 160) ÷ 4 = 3

Vamos, então, calcular a média da distribuição da Tabela 2.3 pelo processo breve.

Começamos por completar a tabela dada com as colunas correspondentes aos pontos médios (xi), aos valores da nova variável (yi) e aos produtos e aos produtos yifi:



TABELA 2.5

i


ESTATURAS

(cm)


fi


xi


fi


xifi




1

2

3

4

5

6


150 ι— 154

154 ι— 158

158 ι— 162

162 ι— 166

166 ι— 170

170 ι— 174


4

9

11

8

5

3


152

156

160

164

168

172


-2

-1

0

1

2

3


-8

-9

0

8

10

9


0

-17

0

0

0

27




x0 = 160


∑ = 40








∑ = 10






Temos, então, x0 = 160, ∑ yifi = 10, ∑ fi = 40 e h = 4.

Substituindo esses valores na fórmula: X = x0 + (∑ yifi x h) ÷ (∑ fi)

Vem: X = 160 + 10 x 4 ÷ 40 = 160 + 1 = 161 cm



Notas:

· O processo breve, com a nova variável definida por nós, só pode ser usado em distribuições que apresentam intervalos de classe de mesma amplitude.

· O processo breve pode, também, ser aplicado para as distribuições sem intervalos de classe, bastando fazer h = 1.



Fases para o cálculo da média pelo processo breve:

1) Abrimos uma coluna para os valores xi

2) Escolhemos um dos pontos médios (de preferência o de maior freqüência) para o valor de x0.

3) Abrimos uma coluna para os valores de y1 e escrevemos zero na linha correspondente a classe onde se encontra o valor de x0; a seqüência -1, -2, -3, ..., logo acima do zero, e a seqüência 1, 2, 3, ..., logo abaixo.

4) Abrimos uma coluna para os valores do produto yifi, conservando os sinais + ou -, e, em seguida, somamos algebricamente esses produtos.

5) Aplicamos a fórmula.





Exercício Resolvido:

1) Calcule a média aritmética, pelo processo breve, da distribuição:



CUSTOS (R$)


450 − 550 − 650 − 750 − 850 − 950 − 1.050 − 1.150

fi


8 10 11 16 13 5 1



Temos:



i


xi


fi


yi


xifi




1

2

3

4

5

6

7


500

600

700

800

900

1.000

1.100


8

10

1

16

13

5

1


-3

-2

-1

0

1

2

3


-24

-20

-11

0

13

10

3


0

0

-55

0

0

0

26

x0 = 800





∑ = 64





∑ = -29






Como: h = 100

Vem: X = x0 + (∑ yifi x h) ÷ (∑ fi) = 800 + (-29) 100 ÷ 64 = 754,69 = R$ 755,00



Resolva:

Complete o esquema para o cálculo da média aritmética da distribuição:



xi


30 − 50 − 70 − 90 − 110 − 130

fi


2 8 12 10 5



Temos:



i


xi


fi


yi


xifi

1

2

3

4

5


40

...

...

...

...


...

...

12

...

...


...

...

...

...

2


...

... ...

...

...

... ...

x0 = ...


∑ = ...








∑ = ...

















Como: h = ...

Vem: X = x0 + (∑ yifi x h) ÷ (∑ fi) = ... + ... x ... ÷ ... = 84,3



Emprego da Média

A média é utilizada quando:

a) Desejamos obter a medida de posição que possui a maior estabilidade;

b) Houver a necessidade de um tratamento algébrico ulterior.

video 1 Media, Mediana y Moda de Datos Agrupados

Matemática - Média Aritmética - Parte 1 - 2

Médias - média aritmética ponderada e geometrica

Estatística Descritiva

Estatística Descritiva - Presentation Transcript

Paulo Novis Rocha Nefrologista Professor Adjunto do Depto. Medicina FMB-UFBA Professor Colaborador do PPgCS Coordenador da Disciplina de Bioestatística  

SEMANA N o AULA DATA ASSUNTO PROFESSOR 7 1 13/04/09 Estatística Descritiva Introdução Variáveis Banco de dados Organização de dados, freqüências Medidas de tendência central e de posição Medidas de dispersão Apresentação de resultados ( Tabelas, Figuras) Paulo Rocha 8 2 20/04/09 Bases da Estatística Inferencial - I Distribuições de frequências Erro padrão Inferência sobre uma média ( Teste z) Teste de hipóteses: o valor- p Paulo Rocha 9 3 27/04/09 Bases da Estatística Inferencial – II Erro tipo I, tipo II, poder Intervalo de confiança Inferência sobre duas médias ( Testes z, t, t´)



Inferência sobre duas proporções ( X 2 , Fisher) Paulo Rocha 10 4 4/05/09 Técnicas de Amostragem e cálculo de tamanho amostral Paulo Rocha 11 5 11/05/09 ANOVA de uma via Neto 12 6 18/05/09 Outros testes não-paramétricos - Wilcoxon, Mann Whitney, Kruskal Wallis Neto 13 7 25/05/09 Correlação e regressão linear Neto 14 8 1/06/09 Análise de regressão logística – I Neto 15 9 8/06/09 Análise de regressão logística – II Neto 16 10 15/06/09 Análise de sobrevida Neto 17 11 22/06/09 Avaliação final Paulo Rocha Curso de Bioestatística Último dia de aulas 5-7-10 Provas finais 12 a 17-7-10

Bibliografia Sugerida Bioestatística sem segredos. Neto AMS. 1a Ed. Bahia, 2008. Bioestatística para profissionais de saúde. Guedes MLS, Guedes JS, Rio de Janeiro, Ao livro técnico, 1988. Intuitive Biostatistics. Motulsky HM. 1a Ed, Oxford University Press, New York, 1995 Fundamentals of Biostatistics. Hosner B. 5a Ed, Pacific Grove, Duxbury, 2000. Biostatistics: a foundation for analysis in the health sciences. Daniel WW. 7a Ed, New York: John Wiley, 1999 Nonparametric statistics for the behavioral sciences. Siegel S e Castellan Jr NJ. 2a Ed, New York, McGraw-Hill, 1988 Applied logistic regression. Hosmer DW e Lemeshow S, 2a Ed, New York, John Wiley, 2000





Pesquisa: Software Essencial Banco de dados SPSS, MS Excel, MS Access Análise estatística SPSS, MS Excel Figuras SPSS, MS Excel, MS Power Point, Adobe Photoshop Editor de texto MS Word: texto, tabelas Gerenciador de Referências Reference Manager , End Notes





Curso para “consumidores” de estatística. Objetivos: Entender artigos científicos Construir banco de dados e utilizar SPSS Dominar estatística descritiva Apresentar dados sob forma de gráficos, figuras, tabelas Compreender estatística inferencial Realizar análises mais simples Dialogar com estatísticos (sem ajuda de intérprete!)





Porque precisamos de estatística ? Variabilidade biológica e/ou falta de precisão experimental dificultam a distinção entre diferenças reais e aleatórias Tendência à generalização “ A 3-year-old girl recently told her buddy: You can’t become a doctor; only girls can become doctors” HM Motulsky. Intuitive Biostatistics. 1995





Podemos fazer pesquisa sem estatística (inferencial) ? Exemplo 1: Ciência básica Variabilidade biológica controlada (animais ou células geneticamente idênticos) Interesse em grandes diferenças Aforismas: “ If you need statistics to interpret your results, you have done the wrong experiment” “ If the data speak for themselves, don’t interrupt!”



“ Researchers use statistics like a drunkard uses a lamp post: more for support than illumination” Norman & Streiner. PDQ Statistics. 1986 HM Motulsky. Intuitive Biostatistics. 1995

Podemos fazer pesquisa sem estatística (inferencial) ? Exemplo 2: Pesquisa clínica Enorme variabilidade biológica Impossibilidade de controlar todas as variáveis relevantes Imprecisão de instrumentos de medida Interesse em efeitos pequenos (digamos, uma mudança de 20%)



Difícil separar o sinal (efeito esperado) do ruído (variabilidade biológica e imprecisão) HM Motulsky. Intuitive Biostatistics. 1995

Sobre a estatística CAPAZ DE FAZER INCAPAZ DE FAZER Conclusões gerais a partir de dados mais limitados AMOSTRA->POPULAÇÃO Controle de qualidade Pesquisas políticas Ensaios clínicos Controlar o erro aleatório Corrigir o erro sistemático Erros de amostragem Erros de medida





Etapas de um estudo do ponto de vista estatístico 1. Definir a população de interesse 2. Selecionar uma amostra da população 3. Coleta de dados 4. Estatística descritiva e analítica



5. Estatística inferencial Neto, AMS 2008. Bioestatística Sem Segredos A Estatística pode ser dividida em três partes: Estatística Descritiva Descreve Caracterização dos indivíduos estudados Estatística Analítica Analisa Investigação das relações entre as características estudadas Estatística Inferencial Infere Avaliação da possibilidade de generalização Neto, AMS 2008. Bioestatística Sem Segredos TÉCNICAS MAIS UTILIZADAS NA ESTATÍSTICA DESCRITIVA Cálculo de freqüências simples, simples acumulada, relativa e relativa acumulada Cálculo de medidas de tendência central (moda, média aritmética, média ponderada, mediana) Cálculo de medidas de dispersão (amplitude, desvio médio, variância, desvio padrão, coeficiente de variação) Cálculo de medidas de posição (porcentis) Elaboração de tabelas univariáveis Elaboração de gráficos Avaliação da forma como as frequencias de uma variável se distribuem Neto, AMS 2008. Bioestatística Sem Segredos TÉCNICAS MAIS UTILIZADAS NA ESTATÍSTICA ANALÍTICA Elaboração de diagramas considerando mais de uma variável (ex. diagramas de dispersão) Elaboração de tabelas de contingência bivariáveis ou multivariáveis Cálculo de medidas de associação entre variáveis (razão ou diferença entre prevalências, entre incidências ou risco relativo ou atribuível, entre chances, coeficientes de correlação, coeficientes de regressão) Análise estratificada Análise multivariável Neto, AMS 2008. Bioestatística Sem Segredos TÉCNICAS MAIS UTILIZADAS NA ESTATÍSTICA INFERENCIAL Teste Z para uma ou duas médias Cálculo do índice capa (Teste Z) Teste t para uma ou duas médias Análise de regressão linear (Testes F ou Z) Teste t para amostras emparelhadas Teste exato de Fisher Teste Z para uma ou duas proporções Teste do sinal Teste X 2 para duas ou mais proporções Teste de Wilcoxon Teste X 2 de Mantel e Haenszel Teste da mediana Teste para uma variância Teste de Mann-Whitney Teste F para duas variâncias Teste de Kruskal-Wallis Análise de variância (Teste F) Teste de Friedman Análise de correlação intraclasse (Teste F) Análise de correlação de Spearman Análise de correlação de Pearson (Teste t) Teste de McNemar Cálculo do alfa de Cronbach (Teste F) Elaboração do diagrama de barra de erro Neto, AMS 2008. Bioestatística Sem Segredos TÉCNICAS ESTATÍSTICAS NÃO ABORDADAS Técnicas de análise exploratória de dados Análise de regressão de Weibull Cálculo de medidas de associação (RR, RC, etc...) Análise de regressão de Poisson Cálculo do índice de concordância capa Análise de regressão binomial negativa Cálculo do alfa de Cronbach Análise de regressão log-linear Teste qui-quadrado de Mantel e Haenszel Análise de regressão hierárquica Teste para uma variância Análise discriminante Análise de variância / An álise de correlação intra-classe Análise de variância multinomial (MANOVA) Teste do sinal Análise de correlação de Kendall Teste de Wilcoxon Análise de contingência Teste da mediana Análise de correlação canônica Teste de Mann-Whitney Análise de correlação parcial múltipla Teste de Kruskal-Wallis Análise de escala multidimensional Teste de Friedman Análise de componentes principais Teste de McNemar Análise de fator Análise de correlação de Spearman Análise de correspondência Análise de correlação de Pearson Análise de homogeneidade Análise de regressão linear Análise de agrupamento (“cluster analysis”) Análise de regressão logística Análise por redes neurais artificiais Análise de regressão de Cox Variáveis: Características que variam entre os indivíduos estudados

CLASSIFICAÇÃO DE VARIÁVEIS Quanto à natureza Quanto à continuidade entre seus possíveis valores Quanto ao número de categorias Quanto ao seu grau de expressão quantitativa Quanto à posição no quadro de hipóteses





CLASSIFICAÇÃO DE VARIÁVEIS I. Quanto à natureza: Qualitativa (ou categórica): raça, sexo Quantitativa: peso, altura, idade, glicemia





CLASSIFICAÇÃO DE VARIÁVEIS II. Quanto à continuidade: Discreta: raça, sexo, estado civil, n ° filhos Contínua: peso, altura, idade, glicemia





CLASSIFICAÇÃO DE VARIÁVEIS III. Quanto ao número de categorias: Dicotômica Ex: sexo, hábito de fumar (respostas sim / não) Policotômica Ex: grau de instrução, raça, religião, estado civil, inserção no processo produtivo



Podem ser dicotomizadas para análise Neto, AMS 2008. Bioestatística Sem Segredos

CLASSIFICAÇÃO DE VARIÁVEIS IV. Quanto ao grau de expressão quantitativa: Nominal: não há critérios para ordenamento Ex: sexo, raça, CEP Ordinal: é possível ordenar, mas não há intervalos regulares Ex: grau de instrução Intervalar: é possível ordenar, há intervalos regulares, valor ZERO não indica ausência do fenômeno Ex: temperatura. Outros exemplos são raros. De razão: é possível ordenar, há intervalos regulares, valor ZERO indica ausência do fenômeno



Ex: idade, peso, altura, número de filhos ou gestações Neto, AMS 2008. Bioestatística Sem Segredos Misturando as classificações... NATUREZA CONTINUIDADE CATEGORIAS ESCALA Quantitativa Contínua Discreta Intervalar De razão Qualitativa (categórica) Discreta Dicotômica Policotômica Nominal Ordinal CLASSIFICAÇÃO DE VARIÁVEIS V. Quanto à posição no quadro de hipóteses: Variável independente principal Variável independente secundária Variável dependente associação principal Variável interveniente Neto, AMS 2008. Bioestatística Sem Segredos Neto, AMS 2008. Bioestatística Sem Segredos CLASSIFICAÇÃO DAS VARIÁVEIS QUANTO À POSIÇÃO NO QUADRO DE HIPÓTESES Dependente Supõe-se que sua ocorrência depende da influência das variáveis independentes Independente Principal Variável de interesse do estudo Secundárias Podem influenciar a associação principal Interveniente Encontra-se no caminho causal entre a variável independente principal e a variável dependente do estudo

CLASSIFICAÇÃO DE VARIÁVEIS VI. Quanto à fixação prévia das frequências: Fixa Igual número de casos e controles Presença ou ausência da doença (variável dependente) seria FIXA Aleatória



Hábito de fumar (variável independente) seria ALEATÓRIA Neto, AMS 2008. Bioestatística Sem Segredos

CLASSIFICAÇÃO DE VARIÁVEIS VII. Quanto à individualização da informação: Individualizada Ex: sexo (M ou F), hábito de fumar (S ou N) Agregada Ex: sexo (%M, %F), hábito de fumar (%S, %N) Ambiental Ex: nível de poluição do ar, de radioatividade Global



Ex: Grau de industrialização, densidade populacional Neto, AMS 2008. Bioestatística Sem Segredos Descrever para compreender. Acute Renal Failure after Lung Transplantation: Incidence, Predictors and Impact on Perioperative Morbidity and Mortality. Rocha et al. American Journal of Transplantation 2005; 5: 1469–1476

Tipos de dados estatísticos: Frequências Medidas de tendência central, medidas de posição, medidas de dispersão Apresentação de resultados



Texto, quadros, tabelas, gráficos TIPOS DE DADOS ESTATÍSTICOS Contagens Medições

Contagens Sexo, raça, etc... Codificação para banco de dados: Branco = 1 Negro = 2 Mulato = 3 Asiático = 4 Recodificação Branco = 1 Não-branco = 2 Medições Glicemia, TA, colesterol, etc... Transformação de medições em contagens:



Categorização de variáveis contínuas Neto, AMS 2008. Bioestatística Sem Segredos Banco de dados contendo 75 pacientes: variável idade Banco de dados contendo 75 pacientes: variável idade Neto, AMS 2008. Bioestatística Sem Segredos TIPOS DE FREQUENCIAS Simples Simples acumulada Relativa Relativa acumulada Idade Frequência simples Frequência simples acumulada Frequência relativa (%) Frequência relativa acumulada (%) 25 1 1 4,0 4,0 31 1 2 4,0 8,0 32 2 4 8,0 16,0 34 3 7 12,0 28,0 36 2 9 8,0 36,0 38 2 11 8,0 44,0 39 1 12 4,0 48,0 40 3 15 12,0 60,0 41 4 19 16,0 76,0 45 1 20 4,0 80,0 46 2 22 8,0 88,0 47 1 23 4,0 92,0 51 1 24 4,0 96,0 52 1 25 4,0 100,0 Histograma contendo a distribuição de frequências de idades dos 75 pacientes do banco Neto, AMS 2008. Bioestatística Sem Segredos Objetivo: resumir os dados de variáveis contínuas, apresentar resultados de forma compreensível MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL Moda Média Mediana

Moda Valor mais frequente Bimodal, trimodal, etc.. Média Aritmética Ponderada Geométrica – média aritmética de variáveis expressas em escala logarítmica Harmônica – pós-teste de ANOVA Mediana Número impar de observações: posição central Número par de observações: média aritmética dos dois valores centrais Posição: (n+1) / 2





VANTAGENS Simplicidade de cálculo Não é afetada por valores extremos Pode resumir variável nominal DESVANTAGENS



Pode não ser única População: (parâmetro) Amostra: (estatística) População: (parâmetro) Amostra: (estatística)

VANTAGENS Simplicidade de cálculo Singularidade Muitas técnicas disponíveis para seu uso DESVANTAGENS Muito influenciada por valores extremos Não pode resumir variável nominal





Para o cálculo da mediana: Ordenar os valores em ordem crescente e encontrar o valor central (P 50 ) quando n é ímpar Quando n é par: média aritmética dos valores centrais





VANTAGENS Simplicidade de cálculo Singularidade Não é influenciada por valores extremos DESVANTAGENS Menos técnicas disponíveis para seu uso



Não pode resumir variável nominal * Não esquecer de checar a veracidade de valores extremos Dica: além das medidas de tendência central, checar máx. e mín. QUANDO UTILIZAR MODA, MÉDIA, MEDIANA MODA Série é unimodal MÉDIA Variável é contínua Série não contém valores extremos MEDIANA Variável é discreta e n é ímpar Série contém valores extremos* MEDIDAS DE POSIÇÃO Média Mediana Porcentil

Separa os valores de uma série de observações em duas ou mais partes, delimitando um certo porcentual de valores abaixo, acima ou entre eles. Ex: quartis Q1, P25 Q2, P50 (= mediana) Q3, P75 Aplicações: pediatria (peso, altura), academia (notas), categorização de variáveis contínuas (criação de intervalos de classe ou pontos de corte), amplitude interquartil, inferência estatística (P95, P 97,5)





Criação de intervalos de classe Qual o número ideal de intervalos de classe ? Depende... Dados da literatura: ex: DRC Fórmula de Sturges: k = 1 + 3,222 x log n k = número de intervalos de classe



n = tamanho da amostra   Cálculo do Primeiro Quartil (Q1) Desorganizado Ordem Crescente MEDIDAS DE DISPERSÃO Amplitude Amplitude interquartil Desvio médio Variância Desvio-padrão Coeficiente de variação   Número da criança na pesquisa Valores de altura (metros) 1 1,14 2 0,86 3 1,24 4 1,17 5 0,94 Número da criança na pesquisa Valores de altura (metros) 2 0,86 5 0,94 1 1,14 4 1,17 3 1,24

VANTAGENS Simplicidade DESVANTAGENS Considera apenas mínimo e máximo Menos técnicas estatísticas que a utilizam



Influenciada por valores extremos * Deve ser usada como medida complementar

Utilização de porcentis para cálculo de uma medida de dispersão Distância entre o primeiro e o terceiro quartis



AIQ = Q3 – Q1   Número da criança na pesquisa Valores de altura (metros) Média de altura Desvio em relação à média Soma dos desvios 1 1,14 1,07 + 0,07 0,00 2 0,86 - 0,21 3 1,24 + 0,17 4 1,17 + 0,10 5 0,94 - 0,13

VANTAGENS Leva em conta todos os valores da série Ao somar os módulos dos desvios, expressa o total de variabilidade em torno da média DESVANTAGENS Cálculo menos simples que a amplitude Os desvios maiores não influenciam bem mais seu resultado do que os menores Menos técnicas estatísticas que o utilizam (comparado ao DP)



Influenciado por valores extremos População: (parâmetro) Amostra: (estatística) Porque o denominador é 4 (n-1) e não 5? Número da criança na pesquisa Valores de altura (metros) Média de altura Desvio em relação à média Soma dos desvios 1 1,14 1,07 + 0,07 0,00 2 0,86 - 0,21 3 1,24 + 0,17 4 1,17 + 0,10 5 0,94 - 0,13 Graus de liberdade Ao calcular a média, perdemos 1 grau de liberdade Número da criança na pesquisa Valores de altura (metros) 1 1,14 2 0,86 3 1,24 4 1,17 5 0,94

Graus de liberdade: Cálculo Graus de liberdade = n – r n = número de observações (em nosso exemplo, quantidade de números a serem selecionados, ou seja, n = 2)



r = número de condições a serem atendidas por esses números População: (parâmetro) Amostra: (estatística) Número da criança na pesquisa Valores de altura (metros) Média de altura Desvio em relação à média Soma dos desvios 1 1,14 1,07 + 0,07 0,00 2 0,86 - 0,21 3 1,24 + 0,17 4 1,17 + 0,10 5 0,94 - 0,13

VANTAGENS Levam em conta todos os valores da série Ao somar os quadrados dos desvios, expressam o total de variabilidade em torno da média Os desvios maiores influenciam bem mais seu resultado do que os menores Muitas técnicas estatísticas os utilizam DESVANTAGENS Cálculos menos simples que a amplitude Influenciados por valores extremos Variância é expressa em escala quadrática, à qual estamos menos acostumados





Permite comparar variações em dimensões diferentes (ex. peso, altura) Permite comparar variações em trechos distintos da escala de variação de uma variável



Precisão de testes diagnósticos Número da criança na pesquisa Valores de altura (metros) Valores de peso (kg) 1 1,14 20,70 2 0,86 15,40 3 1,24 21,40 4 1,17 21,10 5 0,94 17,45 Média 1,07 19,21 Desvio-padrão 0,17 2,66 Coeficiente de variação 15,89% 13,85%

Embora as medidas de dispersão consigam captar o desvio em torno do centro, não conseguem perceber o formato deste desvio. Se o desvio for igual para os dois lados da distribuição, diz-se que a distribuição é simétrica. As distribuições também podem ser mais alongadas ou mais achatadas. Assimetria: deve ser entre -1 a +1 Curtose: deve ser próxima de zero





Comparando-se a média com a mediana. Pelo valor da medida de assimetria (skewness). Se o valor for negativo, a distribuição está desviada para a esquerda. Se o valor for positivo, está desviada para a direita. Uma distribuição razoavelmente simétrica tem coeficiente de assimetria variando entre –1 e +1. Visualmente no gráfico (histograma ou box plot, onde se verifica a presença de valores extremos “outliers”) e se pode verificar o formato da distribuição, identificando-se assimetria ou curtose. Por um teste que avalie a normalidade da distribuição (Kolmogorov-Smirnov ou Shapiro Wilk). Quando, nestes testes, o valor de p < 0.05 a distribuição não é normal.





Classificação de variáveis Estatística descritiva Medidas de tendência central Moda, Média, Mediana Medidas de posição Média, mediana, porcentis Medidas de dispersão Amplitude, Desvio-médio, Variância, DP, CV Medidas de Forma Assimetria e Curtose

8 Correlação

8.1 Relações entre variáveis

Em diversas investigações deseja-se avaliar a relação entre duas medidas quantitativas. Por exemplo, estão as alturas de filhos relacionadas com as alturas dos seus pais? Processos praianos condicionam a inclinação da zona pós-praia abaixo da linha da maré baixa? Ou seja, o ângulo de inclinação do fundo oceânico situado logo após a linha da maré baixa a estirâncio está relacionado com o diâmetro médio (em ) do sedimento do fundo oceânico?

Três propósitos principais de tais investigações podem ser:

• para verificar se os valores sestão associados. (Os valores de uma medida tendem a crescer (ou decrescer) à medida que a outra cresce?)
• para predizer o valor de uma variável a partir de um valor conhecido da outra.
• para descrever a relação entre variáveis. (Dado um aumento específico numa variável, qual o crescimento médio esperado para a segunda variável?)

A associação linear entre duas variáveis é avaliada usando correlação. Para predizer o valor de uma variável contínua a partir de uma outra variável e para descrever a relação entre duas variáveis utiliza-se regressão (veja o próximo capítulo).
O primeiro estágio em qualquer um dos casos é produzir um gráfico de pontos dos dados para obter alguma idéia da forma e grau de associação entre duas variáveis.

Mesmo tendo somente 18 observações, podemos ver que parece existir alguma associação entre ângulo de inclinação do fundo oceânico e diâmetro médio de sedimentos.

8.2 Definições

Seja o conjunto das medidas de uma das variáveis (período das ondas), e seja as medidas da outra variável (diâmetro médio de sedimentos). Seja , , e as médias e desvios padrão amostrais dos dois conjuntos de dados.
Para obter uma medida do grau de associação da relação linear entre duas variáveis, usamos o coeficiente de correlação, definido como:

onde

Para os dados do exemplo acima, temos , , , , , a partir dos quais podemos calcular que .
Assim como para médias e desvios padrão, existe uma letra Grega especial que utlizamos para o coeficiante de correlação populacional: . Podemos considerar como sendo uma estimativa de , exatamente como é uma estimativa da média populacional .
Abaixo estão exemplos de dados com seus coeficientes de correlação correspondentes.

8.3 Interpretação do coeficiente de correlação

O valor de está sempre entre e , com correspondendo à não associação.

Usamos o termo correlação positiva quando , e nesse caso à medida que cresce também cresce , e correlação negativa quando , e nesse caso à medida que cresce, decresce (em média).
Quanto maior o valor de (positivo ou negativo), mais forte a associação. No extremo, se ou então todos os pontos no gráfico de dispersão caem exatamente numa linha reta. No outro extremo, se não existe nenhuma associação linear.
A seguinte quadro fornece um guia de como podemos descrever uma correlação em palavras dado o valor numérico. É claro que as interpretações dependem de cada contexto em particular.

Note que correlações não dependem da escala de valores de ou . (Por exemplo, obteríamos o mesmo valor se medíssemos altura e peso em metros e kilogramas ou em pés e libras.)

8.4 Linearidade e normalidade

Somente relações lineares são detectadas pelo coeficiente de correlação que acabamos de descrever (também chamado coeficiente de correlação de Pearson). Nos dados abaixo, mesmo existindo uma clara relação (não-linear) entre e , o coeficiente de correlação é zero. Sempre faça o gráfico dos dados de modo que você possa visualizar tais relações.

Em alguns casos pode ser apropriado transformar e/ou .  

8.5 Coeficiente de determinação,

O quadrado do coeficiente de correlação de Pearson é chamado de coeficiente de determinação ou simplesmente R. É uma medida da proporção da variabilidade em uma variável que é explicada pela variabilidade da outra. É pouco comum que tenhamos uma correlação perfeita () na prática, porque existem muitos fatores que determinam as relações entre variáveis na vida real. No nosso exemplo da página 56, tivemos , de modo que ou 62%. Então cerca de 38% da variabilidade da inclinação da zona pós-praia abaixo da linha da maré baixa não pode ser descrito (ou explicado) pela variabilidade no diâmetro médio de sedimentos e vice-versa. Fica portanto claro que existem outros fatores que poderiam ser importantes, como por exemplo, profundidade da lâmina d'água, altura das ondas, ângulo de aproximação das ondas, etc.

8.6 Associação não é causalidade

Suponha que encontremos uma associação ou correlação entre duas variáveis A e B. Podem existir diversas explicações do porque elas variam conjuntamente, incluindo:

• Mudanças em A causam mudanças em B.
• Mudanças em B causam mudanças em A.
• Mudanças em outras variáveis causam mudanças tanto em A quanto em B.
• A relação observada é somente uma coincidência.

A terceira explicação é frequentemente a mais apropriada. Isto indica que existe algum processo de conecção atuando. Por exemplo, o número de pessoas usando óculos-de-sol e a quantidade de sorvete consumido num particular dia são altamente correlacionados. Isto não significa que usar óculos-de-sol causa a compra de sorvetes ou vice-versa!
É extremamente difícil estabelecer relações causais a partir de dados observacionais. Precisamos realizar experimentos para obter mais evidências de um relação causal.

8.7 Exercícios 7

1. Um estudo geoquímico orientador realizado, utilizando amostras compostas de sedimentos de corrente com granulometria de 100-150 e profundidade de , provenientes de riachos correndo sobre granulitos, revelou os seguintes resultados em :
   
   
   
   1. Faça o gráfico destes dados com Ni no eixo .
   2. Calcule o coeficiente de correlation pata estes dados e cheque se o valor obtido parece consistente com seu gráfico.
   3. Qual proporção da variabilidade na concentração de Cr pode ser explicada pela concentração de Ni?
2. Prosseguindo o estudo da influência de processos praianos no condicionamento do ângulo de inclinação do fundo oceânico situado logo após a linha da maré baixa a estirâncio mediu-se a profundidade da lâmina d'água (em pés). Os dados coletados foram:
   
   
   
   1. Faça o gráfico desses dados com profundidade da lâmina d'água no eixo .
   2. Calcule o coeficiente de correlação, e interprete o resultado obtido.
   3. Qual proporção da variabilidade em ângulo de inclinação pode ser explicada por profundidade da lâmina d'água?